[STA1] Experiment, Sample Space, Event

การทดลอง ปริภูมิตัวอย่าง และเหตุการณ์

การทดลอง (Experiment)

การทดลองก็ตามชื่อเลย คือลองทำมันเลยจ้า 😂

แน่นอนว่าพอเราลองแล้วมันก็จะได้ผลลัพธ์ออกมา เราก็จดตัวผลลัพธ์ไว้สวยๆ 📝

ซึ่งการทดลองพวกเนี้ย มันจะแบ่งออกไปได้ 2 แบบคือ:

1. การทำลองแบบรู้ผลแน่นอน — ทุกคนรู้ เพื่อนฉันรู้ 😂

คือเจ้าตัวเนี้ยมันจะสามารถคำนวณเลขหรือให้คำตอบออกมาได้อย่างเดียว เราก็เลยเรียกมันว่ารู้ผลแน่นอน เช่น:

• โยนลูกบอลขึ้นฟ้าแล้วมันต้องตกลงมาตามแรงโน้มถ่วงแน่นอน ⚽

• คำนวณโพรเจกต์ไทล์ลูกระเบิด 💣

• ฝากเงินแล้วได้ดอกเบี้ยตามกฎของธนาคารแน่นอน 💰

เป็นต้น อย่างที่บอกไป ของพวกนี้มันมีคำตอบแค่อย่างเดียวเลยไม่ค่อยน่าสนใจเท่าไร 🤷‍♀️

2. การทดลองแบบสุ่ม — ตัวเนี้ยน่าสนใจ…

หลักการของมันคือ มันจะหาค่าแน่นอนไม่ได้ แต่มันจะหาความน่าจะเป็นของคำตอบได้!

เช่น การโยนเหรียญเที่ยงตรง (โจทย์คลาสสิก)

การโยนเหรียญเที่ยงตรงเนี่ย เราก็รู้กันทุกคนแหละว่าผลลัพธ์ที่จะออกมาจะมันมีได้แค่ 2 อย่างคือ "หัว" กับ "ก้อย" ซึ่งเราบอกไม่ได้หรอกว่าโยนรอบต่อไปในชีวิตมันจะได้อะไร แต่เราบอกได้ว่า "มันมีโอกาสออกหัวก้อยได้ 50/50"

ซึ่งแน่นอนว่าเราเรียนสถิติไปเพื่อแก้ปัญหาเจ้าตัวการทดลองแบบที่ 2 นั่นแหละ แต่ก่อนเราจะไปหาว่า ทำนู่นทำนี่แล้วจะมีโอกาส % เท่าไร เราต้องรู้เรื่องถัดไปก่อน นั่นก็คือ…

ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space)

นิยาม: ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) ของการทดลองสุ่มใดๆ คือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลอง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $S$ และสมาชิกแต่ละตัวของปริภูมิตัวอย่าง เรียกว่า จุดตัวอย่าง (Sample Point)

ข้างต้น… หลังจากนี้เราจะใช้คำว่า Sample Space นะ เหตุผลคงรู้ๆ กัน 😓

พอเราทำการทดลองแล้ว ผลลัพท์ที่ได้มันก็จะมีทั้งแบบผลเดียว กับหลายๆ ผลใช่มะ เราจะเรียกตัวผลลัพธ์ที่ได้เนี่ยว่าจุดตัวอย่าง (Sample Point) โดยที่สำคัญเลยคือ เราสามารถนำจุดตัวอย่างที่ได้แต่ละตัวมาเขียนในรูป $S=\{«จุดตัวอย่าง»\}$ ซึ่งสิ่งที่เราได้ออกมาจะเรียกว่า "Sample Space ของการทดลองสุ่ม" ❤️

อ่ะลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1:

• การทดลอง: โยนเหรียญ 1 เหรียญ (โยนแล้วได้หน้าของเหรียญ)

• ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น (จุดตัวอย่าง): หัว, ก้อย

• $\therefore$ Sample Space ของการโยนเหรียญ 1 เหรียญคือ $S=\{หัว,ก้อย\}$

ตัวอย่างที่ 2:

• การทดลอง: ทอดลูกเต๋า 6 ด้าน 1 ลูก (ทอดแล้วได้ลูกเต๋าทอด เอ้ย ได้แต้มจากหน้าบนของลูกเต๋า)

• ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น: 1, 2, 3, 4, 5, 6

• $\therefore$ Sample Space ของการทอดลูกเต๋า 6 ด้าน 1 ลูกคือ $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

ตัวอย่างที่ 3:

• การทดลอง: เล่นเกมจนกว่าจะชนะ (เล่นแล้วได้ผลแพ้ชนะ)

• ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น: ชนะ, แพ้-ชนะ, แพ้-แพ้-ชนะ, …

• $\therefore$ Sample Space ของการเล่นเกมจนกว่าจะชนะคือ $S=\{ชนะ,แพ้-ชนะ,แพ้-แพ้-ชนะ,\dots\}$

ตัวอย่างที่ 4:

• การทดลอง: ยืนจับเวลารอรถหน้ามหาลัยฯ (จับเวลาแล้วได้เวลากว่าที่รถจะมาถึง)

• ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น: $[0,\infty)$ (ยืนรอแป๊บเดียวก็มี ยืนรอยันชาติหน้าก็มี)

• $\therefore$ Sample Space ของการยืนจับเวลารอรถหน้ามหาลัยฯ คือ $S=\{x|x\geq 0,x\in\mathbb R\}$

จากตัวอย่างที่ 1 กับ 2 เราจะเห็นว่า Sample Space ของสองตัวเนี้ยจะง่ายๆ ออกมาเป็นตัวๆ แต่ในตัวอย่างที่ 3 กับ 4 เราจะพบว่า Sample Space มันเริ่มซับซ้อนขึ้น แถมยังเป็นเซตของช่วงได้อีก เราเลยบอกว่า Sample Space เนี่ยมันจะมีอยู่ 2 แบบ คือ:

1. Sample Space จำกัด: คือมันนับได้ ต่อให้เยอะแต่ถ้านับไหวก็คือนับได้ เช่นตัวอย่าง 1 กับ 2 นับได้เลยว่ามีกี่ตัว

2. Sample Space อนันต์: อ่ะถ้าตัวเนี้ยคือนับไม่ได้ ยิ่งนับยิ่งเยอะ พวกนี้มักจะคล้ายๆ กับตัวอย่างที่ 4 คือมีผลลัพธ์เป็นช่วงของจำนวนอะไรสักอย่างแล้วไม่มีลิมิต แต่เพื่อความปลอดภัยยังไง recheck ก่อนนะว่ามันนับไหวป่าว (นับไหว → นับได้)

พอเรารู้แล้วว่าการทดลองสุ่มของเราจะให้ผลลัพธ์อะไรออกมาบ้าง เราก็จะเอาการทดลองของเรามาดัดแปลงเพื่อให้ได้สิ่งที่เราอยากได้ ซึ่งก็จะต้องพูดถึงเรื่อง…

เหตุการณ์ (Event)

นิยาม: เหตุการณ์ (Event) คือเซตย่อยของปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งแบ่งเป็น:

• เหตุการณ์อย่างง่าย มีสมาชิก 1 ตัว

• เหตุการณ์ประสม มีสมาชิกมากกว่า 1 ตัว

เราอาจจะสังเกตว่า การทดลองสุ่มที่เรายกขึ้นมาแต่ละอันนั้นมันจะให้ Sample Space ออกมาแค่อย่างเดียว เหมือนกันเสมอๆ

แต่จริงๆ เราสามารถ modify ให้มันละเอียดขึ้นได้โดยการกำหนดเหตุการณ์เพิ่มเติมลงไป ซึ่งเหตุการณ์เหล่านี้ก็จะให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเซตเหมือน Sample Space ซึ่งอาจจะมีทุกตัวหรือบางตัวก็ได้ (อ้างอิงจากนิยามที่ว่า "เป็นเซตย่อยของปริภูมิตัวอย่าง") เอาเป็นว่า เรามาดูตัวอย่างเรื่องของการกำหนดเหตุการณ์จากการทดลองสุ่มกันก่อนดีกว่า

การทดลองสุ่มหนึ่งทำการโยนลูกเต๋า 6 ด้าน 1 ลูกให้ Sample Space เป็น $S=\{1,2,3,4,5,6\}$จงหาว่าเหตุการณ์ดังต่อไปนี้สามารถให้ผลลัพธ์ใดได้บ้าง

1. เหตุการณ์ A: เมื่อทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มน้อยกว่า 7

2. เหตุการณ์ B: เมื่อทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มคี่

3. เหตุการณ์ C: เมื่อทอดลูกเต๋าแล้วได้ค่าที่น้อยที่สุด

จากการทดลองสุ่มนี้ เราจะเห็นว่าเหตุการณ์ 3 ตัวนี้จะส่งผลให้ผลลัพธ์จาก Sample Space เดิมนั้นเปลี่ยนไป (ผลลัพธ์เปลี่ยนนะ ไม่ใช่ Sample Space เปลี่ยน — Sample Space คือสิ่งที่เป็นไปได้_ทั้งหมด_) นั่นคือ:

• ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ A คือ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ($A=\{1,2,3,4,5,6\}$)

• ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ B คือ: 1, 3, 5 ($B=\{1,3,5\}$)

• ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ C คือ: 1 ($C=\{1\}$)

จะเห็นว่าเหตุการณ์พวกนี้จะเป็นซับเซตของ Sample Space หมดเลย ($A\subset S,B\subset S,C\subset S$) ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ได้มีตัวแปลกๆ ที่ไม่อยู่ใน Sample Space ปนอยู่ล่ะก็… เธอพลาดละ… 😂

แน่นอนว่าเหตุการณ์ก็ยังแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ:

1. เหตุการณ์อย่างง่าย: ก็คือมีสมาชิก 1 ตัว เช่นเหตุการณ์ C ที่ยกตัวอย่างไป

2. เหตุการณ์ประสม: ตัวนี้จะมีสมาชิกมากกว่า 1 ตัว เช่น เหตุการณ์ A กับ B ตามที่ยกตัวอย่างไปเช่นกัน

นอกจากนี้ เจ้าเหตุการณ์พวกนี้ก็ยังเขียนเป็นเซตได้เหมือนกัน ดังนั้น การดำเนินการระหว่างเซตจะทำให้เกิดเหตุการณ์ใหม่ ❤️ เช่น:

จับเอาเหตุการณ์ A มา_อินเทอร์เซ็กต์_กับ B ($A\cap B$) เราจะได้เหตุการณ์ "เมื่อทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มน้อยกว่า 7 _และ_ได้แต้มคี่"

นั่นคือเราจะได้ $\{1,2,3,4,5,6\}\cap\{1,3,5\}=\{1,3,5\}$ 🎉

หรือถ้าเราเอาเหตุการณ์ B มา_ยูเนียน_กับ C ($B\cup C$) เราก็จะได้เหตุการณ์ "เมื่อทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มคี่_หรือ_ได้ค่าที่น้อยที่สุด"

ก็จะได้เป็น $\{1,3,5\}\cup\{1\}=\{1,3,5\}$

จะเห็นว่าเราจะสามารถสร้างเหตุการณ์ใหม่ๆ ขึ้นได้เยอะเลย 😄

แต่…

บางเหตุการณ์เมื่อเราเอามาดำเนินการกันแล้ว อาจจะได้เซตว่างก็ได้นะ 🤔 เช่น:

กำหนดเหตุการณ์ D: เมื่อทอดลูกเต๋าแล้วได้_แต้มคู่_ (นั่นคือ $D=\{2,4,6\}$)

ถ้าเราเอาเหตุการณ์ B มาอินเทอร์เซ็กต์กับ D ก็จะได้ว่า $B\cap D=\{1,3,5\}\cap\{2,4,6\}=\varnothing$

แน่นอนว่าเรารู้อยู่ละว่ายังไงลูกเต๋ามันจะเกิดหน้าคู่และคี่พร้อมกันไม่ได้แน่ๆ มันเลยให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเซตว่างหรือก็คือ ไม่มีเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้น

เราจะเรียกเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ที่เอามาอินเทอร์เซ็กต์กันแล้วได้เซตว่างเนี้ยว่า "เหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันไม่ได้ (mutually exclusive)" ❤️

นิยาม: ถ้าเหตุการณ์ A กับ B ไม่มีจุดตัวอย่างร่วมกัน นั่นคือ $A\cap B=\varnothing$ เรียก A กับ B ว่า เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันไม่ได้ (mutually exclusive)

ทั้งหมดที่เราได้พูดไปแล้วก็คือเรื่องของ "เหตุการณ์ (Event)" และสิ่งที่เกิดขึ้นได้จากเหตุการณ์ ในส่วนนี้อาจจะยืดยาวหน่อย ถ้าไม่เข้าใจลองเปิดหาตัวอย่างเพิ่มเติมได้เลยนะ 🔎

เอาเป็นว่า เราไปดูสรุปกันดีกว่า 😄

สรุปเนื้อหา

• การทดลอง (Experiment):

  • ลองทำ → ได้ผลลัพธ์

  • 2 แบบ:

    1. รู้ผลแน่นอน: คำนวณหาค่าที่แน่นอนได้

    2. สุ่ม: หาค่าแน่นอนไม่ได้ แต่หาความน่าจะเป็นได้

• ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space):

  • เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  • E.g.: ผลการสอบนักศึกษา 1 คน → $S=\{ผ่าน,ไม่ผ่าน\}$

  • 2 แบบ:

    1. จำกัด: นับได้ (ต่อให้เยอะ ถ้านับได้ก็เป็น)

    2. อนันต์: $\infty$ (มักอยู่บนช่วงจำนวนไม่มีลิมิต)

• เหตุการณ์ (Event):

  • เซตย่อยของ S

  • 2 ประเภท:

    1. ง่าย: มีตัวเดียว

    2. ประสม: มีหลายตัว

  • เนื่องจากเหตุการณ์แทนได้ด้วยเซต $\therefore$ การดำเนินการระหว่างเซตจะเกิดเหตุการณ์ใหม่ขึ้น

  • $A\cap B=\varnothing$ → เหตุการณ์เกิดร่วมกันไม่ได้ (Mutually Exclusive)

ก็จบลงไปแล้วสำหรับ EP1 เนอะ ใจจริงก็อยากจะเขียนทั้งบทที่ 1 ให้มันจบๆ ไปเลย แต่โอ้โหเราพิมพ์ขยายความไปเยอะมากๆ 😂 เอาเป็นว่าถ้าว่างๆ แล้วก็จะมาพิมพ์ลงให้อีกน้า แล้วเจอกันใน EP2 จ้า 👋