[STA3] Permutation, Combination

การจัดลำดับ และการจัดหมู่

นอกจากกฎการนับพื้นฐานที่เราได้เรียนไปใน EP ก่อนหน้านี้แล้ว เรายังหาสามารถหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่างๆ ได้ด้วยการใช้วิธีการจัดลำดับและการจัดหมู่ ซึ่งของเหล่านี้จริงๆ แล้วล้วนเป็นพื้นฐานของสิ่งรอบๆ ตัวเรา เช่น จำนวนวิธีการเรียงของที่เลือก จำนวนกลุ่มที่ได้จากเลือกของบางอย่างจากกลุ่ม เป็นต้น

ถ้าพร้อมแล้วก็มาเริ่มกันเลยที่เรื่อง…

การจัดลำดับ (Permutation)

นิยาม: การจัดลำดับ คือการจัดของทั้งหมดที่มีอยู่หรือจัดของบางส่วนโดยคำนึงถึงลำดับด้วย กล่าวคือ ถ้ามีสิ่งของหลายสิ่งที่แตกต่างกัน เราจะนำมาจัดเรียงโดยถือว่าลำดับที่ของสิ่งของซึ่งแตกต่างกันจะเป็นวิธีที่แตกต่างกัน

Permutation จะพูดถึงการเอาของมาเข้าแถวเรียงกัน สิ่งที่ต้องจำคือ การเข้าแถวถ้าลำดับเปลี่ยนจะถือว่าเป็นคนละแบบ (ประมาณว่าคนละคิวนั่นเอง) โดยจะมีทฤษฎีอยู่ว่า:

ทฤษฎี: ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน $n$ สิ่ง นำมาจัดลำดับคราวละ $r$ สิ่ง ($r\leq n$) จะกระทำได้ทั้งหมด $P_r^n$ วิธี โดย

$$P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}$$

ถ้าพูดให้เข้าใจง่ายๆ n คือของทั้งหมด และ r คือหยิบมาเท่าไร ถ้าหยิบหมดก็จะเป็น $n!$ ไปเลย เราไปลองดูโจทย์กันดีกว่า

ปัญหา 1: บรรณารักษ์ต้องการนำหนังสือ 7 เล่มขึ้นชั้นหนังสือ บรรณารักษ์จะสามารถจัดเรียงหนังสือได้ทั้งหมดกี่วิธีเมื่ออนุมานว่าหนังสือทุกเล่มแตกต่างกัน?

จากโจทย์จะเป็นการเอาหนังสือมาเรียงขึ้นชั้น ซึ่งก็เรียงหมดเลยทั้ง 7 เล่ม ($n=7, r=7$)

ดังนั้น: จะสามารถจัดเรียงหนังสือบนชั้นหนังสือได้ทั้งหมด $P_7^7=\frac{7!}{(7-7)!}=7!=5{,}040$ วิธี

ปัญหา 2: มีอักษร a, b, c, d, e, นำมาจัดลำดับคราวละ 3 ตัว จะมีวิธีจัดได้กี่วิธีที่ไม่ซ้ำกัน?

โจทย์ข้อนี้เป็นการเอาตัวอักษรมาเรียงกัน ตรงกับการใช้ Permutation พอดี ซึ่งเราจะได้ค่า $n=|\{a,b,c,d,e\}|=5$ และ $r=3$

ดังนั้น: ข้อนี้จะมีวิธีจัดได้ $P_3^5=\frac{5!}{(5-3)!}=60$ วิธี

ปัญหา 3: จงหาจำนวนวิธีจัดลำดับของตัวอักษรในคำว่า "ENGINEERS"

โจทย์ข้อนี้เป็นการทำ Permutation เหมือนกัน แต่คราวนี้เราจะไม่สามารถใช้สูตร $P_r^n$ ทั่วๆ ไปได้ เพราะถ้าเรามองดีๆ แล้วจะพบว่าคำว่า "ENGINEERS" นั้นมีตัวอักษรซ้ำอยู่หลายตัว นั่นหมายความว่าคำว่า "EN..." ที่ใช้ตัว E แรก กับคำว่า "EN..." ที่ใช้ตัว E ในลำดับที่สอง จะถือว่าเป็นคำเดียวกัน ในกรณีนี้เราจะต้องใช้ทฤษฎีเพิ่มเติมคือ:

ทฤษฎี: ถ้ามีสิ่งของ $n$ สิ่ง แบ่งเป็น $k$ ชนิด แต่ละชนิดซึ่งเหมือนกันมีจำนวน $n_1,n_2,\dots,n_k$ สิ่ง นำมาจัดลำดับคราวละ_ทั้งหมด_ กระทำได้ $\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\dots n_k!}$ วิธี

เดี๋ยวมาลองใช้ทฤษฎีนี้เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้นกันดีกว่า

จากโจทย์ที่เป็นคำว่า "ENGINEERS" เราจะพบว่ามีจำนวนตัวอักษรซ้ำกันดังนี้:

• E: 3 ครั้ง

• N: 2 ครั้ง

• G, I, R, S: (ตัวละ) 1 ครั้ง

ก็จะได้ว่า:

• $n=9$ (มีตัวอักษร 9 ตัว)

• $k=6$ (มีตัวอักษรเพียวๆ 6 ตัว)

• $n_{1(E)}=3$ (ตัว E ซ้ำ 3 ครั้ง)

• $n_{2(N)}=2$ (ตัว N ซ้ำ 2 ครั้ง)

• $n_{3(G)}=1$ (ตัว G ซ้ำ 1 ครั้ง)

• $n_{4(I)}=1$ (ตัว I ซ้ำ 1 ครั้ง)

• $n_{5(R)}=1$ (ตัว R ซ้ำ 1 ครั้ง)

• $n_{6(S)}=1$ (ตัว S ซ้ำ 1 ครั้ง)

ดังนั้น: จะสามารถจัดลำดับของตัวอักษรในคำว่า "ENGINEERS" ได้ $\frac{9!}{3!2!1!1!1!1!}=30{,}240$ วิธี

สำหรับเรื่องของ permutation นั้น ถ้าเราเข้าใจแล้วก็จะไม่ยากเลย เดี๋ยวเราไปดูวิธีการนับอีกแบบที่มีประโยชน์อีกตัวกันเลยนั่นก็คือ...

การจัดหมู่ (Combination)

นิยาม: การจัดหมู่ หมายถึงการจัดของ $r$ สิ่ง จากของทั้งหมด $n$ สิ่ง ($r\leq n$) โดยไม่คำนึงถึงลำดับ จำนวนวิธีการจัดหมู่คราวละ $r$ สิ่งจากสิ่งของที่มีทั้งหมด $n$ สิ่งคือ

$$^nC_r=\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$

ในที่สุดก็มาถึงวิธีการนับสุดท้ายแล้ว 😆 ซึ่งตัวสุดท้ายนี้เป็นตัวที่ใช้บ่อยมากที่สุดและ มันก็คือ Combination นั่นเองงง 🎉

เจ้าตัว Combination นี้เองจะเป็นเรื่องของการจัดของโดยไม่สนใจลำดับ วิธีการจำ 90% จะจำกันว่า "n เลือก r" คือมีของเนี่ย n อย่าง หยิบๆ มา r อย่าง ได้กี่แบบ ถ้ายังไม่เข้าใจก็ไม่เป็นไร ลองไปดูโจทย์กันดีกว่า

ปัญหา 1: บริษัทแห่งหนึ่งต้องคัดเลือกพนักงาน 3 คนไปปฏิบัติงานในต่างประเทศ ถ้าบริษัทนี้มีพนักงานที่คุณสมบัติครบถ้วน 5 คน บริษัทจะคัดเลือกได้กี่แบบ?

โอเค โจทย์ข้อนี้ตรงไปตรงมาเข้าแนว Combination พอดี 😂 คือมีพนักงาน 5 คนเลือก 3 คนจะเลือกได้กี่แบบ

ดังนั้น: บริษัทจะคัดเลือกได้ $^5C_3=\binom{5}{3}=\frac{5!}{(5-3)!3!}$ วิธี

ปัญหา 2: จาก_ปัญหา 1_ เมื่อบริษัททำการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติจะทำให้พนักงานที่คุณสมบัติครบถ้วนเปลี่ยนแปลงเป็นชาย 3 คน หญิง 5 คน บริษัทจะคัดเลือกได้กี่แบบ เมื่อ:

1. เป็นชาย 2 คนหญิง 3 คน

2. เป็นหญิง 4 คนเท่านั้น

ข้อนี้การเลือกจะซับซ้อนขึ้น ซึ่งเราจะใช้กฎการคูณมาประกอบด้วย 😅 เดี๋ยวเรามาดูข้อย่อย 1. กันก่อน

ข้อย่อย 1. เป็นชาย 2 คนหญิง 3 คน ดังนั้นการเลือกจะทำเป็นลำดับคือ:

1. เลือกชาย 2 คน: เลือกได้ $\binom{3}{2}$ (มีชาย 3 คนเลือก 2 คน)

2. เลือกหญิง 3 คน: เลือกได้ $\binom{5}{3}$ (มีหญิง 5 คนเลือก 3 คน)

เนื่องจากเราทำแบบหลายขั้นตอน ต้องทำครบทุกขั้นตอนจึงจะเสร็จ จึงใช้กฎการคูณ

ดังนั้น: บริษัทจะคัดเลือกได้ $\binom{3}{2}\binom{5}{3}$ แบบเมื่อเป็นชาย 2 คนหญิง 3 คน

เดี๋ยวเราไปดูข้อย่อยต่อไปกันเลย

ข้อย่อย 2. ต้องเป็นหญิง 4 คนเท่านั้น ดังนั้นเราก็จะลืมผู้ชายไปได้เลย 😥

ดังนั้น: บริษัทจะคัดเลือกได้ $\binom{5}{4}$ แบบเมื่อเป็นหญิง 4 คน

จากตัวอย่างก็จะเห็นว่า ว้าว! เจ้าตัว Combination เนี่ยมีประโยชน์มากๆ หลังจากเรียนรู้วิธีการนับทั้งหมดไปแล้ว อย่าลืมทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมกันด้วยนะครับ แน่นอนทิ้งท้ายเราก็มีสรุปมาเหมือนเช่นเคย ถ้าพร้อมแล้วก็ไปรีวิวกันเลย

สรุปเนื้อหา

• การจัดลำดับ (Permutation):

  • เอาของมาเข้าแถว ลำดับต่าง = ต่างกัน

  • $P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$ "หยิบ r อย่างจาก n อย่างมาเรียง"

  • กรณีเรียงหมด จะเป็น $n!$

  • กรณีของเหมือน จะเป็น $\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\dots n_k!}$

• การจัดหมู่ (Combination):

  • เอามาจัดโดยไม่สนใจลำดับ

  • $^nC_r=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\binom{n}{r}$ "มี n เอา r"

เย้! เนื้อหาสำหรับวันนี้จบแล้ว ใน EP หน้าเราจะมาหาความน่าจะเป็นกันแล้ว อดใจรอกันสักนิดน้า แล้วเจอกันนะครับ ❤️