[STA4] Probability

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นเนี่ย มันเป็นตัวเลขที่เอาไว้บอกโอกาสการเกิดของเหตุการณ์ที่เราตั้งขึ้นมา

เราเองก็น่าจะคุ้นชินกันมาแล้วแบบ "แก เรียนกับอาจารย์คนเนี้ยผ่านไม่ผ่านครึ่งๆ เลยนะ" หรืออาจจะแบบ "ชีวิตนี้ฉันคงจะหาแฟนไม่ได้แล้ว 😭"

แน่นอนว่า Statement พวกนี้เป็นการบ่งบอกถึงโอกาสการเกิด แต่ไม่ได้บอกนะว่ามันจะเกิดขึ้นจริงๆ กับผู้พูดหรือผู้รับสารเอง (ยกเว้นจะคำนวณออกมาแล้วได้ 0% หรือ 100% เอออันนี้ถึงจะไม่มีวันเกิดได้หรือเกิดขึ้นแน่ๆ) ดังนั้นเวลาได้ยินใครเอา Statement แนวๆ นี้มาพูดใส่ ก็อย่าลืมใช้วิจารณญาณและสติของตัวเองในการพิจารณากันด้วยนะ (เช่น นักศึกษาครึ่งหนึ่งอาจจะไม่ตั้งใจเรียนเองก็ได้ หรือ วันนี้หาแฟนไม่ได้ พรุ่งนี้อยู่ดีๆ อาจจะมีคนเข้ามาจีบก็ได้)

หลักๆ แล้วความน่าจะเป็นมันจะมีวิธีการหาอยู่ 2 วิธีก็คือ:

1. การกำหนดความน่าจะเป็นโดยอาศัยตัวแบบของการทดลอง (Experimental Model)

2. การกำหนดความน่าจะเป็นโดยอาศัยผลจากการทดลอง (Empirical Approach)

เรามาเริ่มกันที่ตัวแรกกันก่อนเลย นั่นก็คือ…

ความน่าจะเป็นโดยอาศัยตัวแบบของการทดลอง (Experimental Model)

นิยาม: ในการทดลองเชิงสุ่ม ถ้าสามารถเขียน Sample Space ของผลลัพธ์โดยที่แต่ละผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน และ $A$ เป็นเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ เขียนแทนด้วย $P(A)$ จะได้ว่า

$$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$$

โดยที่:

• $n(A)$ คือจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ $A$

• $n(S)$ คือจำนวนสมาชิกของ Sample Space

หมายเหตุ: จะสังเกตว่าตัวนิยามจะใช้ $n(X)$ แทน $|X|$ (เมื่อ $X$ เป็นเซต) เพื่อบ่งบอกถึงจำนวนสมาชิกของเซต $X$ ซึ่งทั้งสอง notation สามารถใช้ได้เหมือนกัน แต่ในส่วนของผู้เขียนหลังจากนี้จะใช้เป็น $n(X)$ เพื่อให้สอดคล้องกับนิยามข้างต้น

วิธีเนี้ยจะเป็นวิธีการที่ใช้ในการออกสอบซะส่วนใหญ่ เพราะว่าวิธีนี้จะใช้วิธีการคำนวณเพียวๆ เลย ซึ่งอย่างที่นิยามบอก เราจะเอาจำนวนสิ่งที่เกิดขึ้นได้ มาหารด้วยจำนวนสิ่งที่เกิดได้ทั้งหมด ดังนั้นด้วยวิธีการนี้ เราจะได้เลขมาเพียวๆ สวยๆ เลย เดี๋ยวลองไปดูตัวอย่างกันดีกว่า

ปัญหา 1: จงหาความน่าจะเป็นที่นักศึกษา 7 คน จะเกิดคนละวันในวันของสัปดาห์

จากโจทย์ ข้อนี้จะมี S เป็น "นักศึกษา 7 คน เกิดวันต่างๆ ได้กี่รูปแบบ" เช่นอาจจะเป็น 'จ-อ-พ-พฤ-ศ-ส-อา' ก็ได้ หรืออาจจะเป็น 'จ-จ-จ-จ-จ-จ-จ' ก็ได้

เมื่อคำนวณออกมาก็จะได้ว่า $n(S)=7\times7\times7\times7\times7\times7\times7=7^7$

ต่อมา เราก็กำหนดเหตุการณ์ขึ้นมาแทนสิ่งที่เราสนใจ (ก็คือโจทย์นั่นเอง) ก็คือ "กำหนดให้ A แทนเหตุการณ์ที่นักศึกษา 7 คน เกิดคนละวันในวันของสัปดาห์"

วิธีการคิดคือ ให้คิดว่านักศึกษาคนแรกเลือกมา 1 วันจาก 7 วัน ก็จะเหลือให้คนที่สองเลือก 1 วันจาก 6 วัน ทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งคนสุดท้ายจะเหลือให้เลือก 1 วัน เท่านี้ทั้ง 7 คนก็จะได้วันที่ไม่ซ้ำกันแล้ว

จะได้ว่า $n(A)=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=7!$

ดังนั้น เราก็จะสามารถคำนวณหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ได้ว่า

$$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7!}{7^7}$$

ดังนั้น: ความน่าจะเป็นที่นักศึกษา 7 คน จะเกิดคนละวันในวันของสัปดาห์ คือ $\frac{7!}{7^7}$

จะเห็นว่า วิธีการนี้ค่อนข้างเหมาะสมกับการคำนวณมากๆ ได้ค่าดูดีมีเหตุผล แต่วิธีการนี้จริงๆ แล้วมีข้อเสียอยู่ 2 ข้อก็คือ:

1. Sample Space ต้องเป็นเซตจำกัด: เหตุการณ์บางอย่างสามารถมี Sample Space เป็นอนันต์ได้หรือสามารถหา Sample Space ได้ยาก ซึ่งถ้าเราหา Sample Space ไม่ได้ เราก็หาความน่าจะเป็นของมันด้วยวิธีข้างต้นไม่ได้

2. ผลลัพธ์จากการทดลองแต่ละผลลัพธ์ต้องมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน: เช่น เราอาจจะบอกได้ว่าลูกเต๋าที่มี 6 หน้า จะมีโอกาสออกแต่ละหน้าเท่าๆ กัน แต่ถ้าสมมติว่าเราใช้ลูกเต๋าบิ่นที่มีหน้าหน้าหนึ่งมีโอกาสออกได้เป็น 2 เท่าของหน้าอื่น เราจะใช้วิธีคิดแบบนี้ไม่ได้

ถ้าเราเจอปัญหาทั้ง 2 ข้อด้านบน เราก็อาจจะต้องปรับวิธีการคำนวณ หรือเราสามารถใช้ได้อีกวิธีนั่นก็คือ…

ความน่าจะเป็นโดยอาศัยผลจากการทดลอง (Empirical Approach)

นิยาม: ในการทดลองเชิงสุ่ม $n$ ครั้ง เกิดเหตุการณ์ที่ต้องการ $S$ ครั้ง ถ้า $n$ มีค่ามากพอ เรากล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้เหตุการณ์ที่ต้องการในการทดลองแต่ละครั้งจะมีค่าเป็น $p=\frac{S}{n}$ และความน่าจะเป็นที่จะได้เหตุการณ์ที่ไม่ต้องการจะเท่ากับ $q=\frac{n-S}{n}$

พูดให้ง่ายขึ้นอีก ก็คือ อยากรู้ก็ลองทำดูสิ

ฮะ? ลองทำ? ยังไงหรอ 🤨?

หลักการของวิธีนี้ก็ตามที่บอกเลยคือ เราก็ทดลองไปเรื่อยๆ แล้วจดบันทึก 2 อย่างคือ:

1. ทำไปแล้วกี่ครั้ง (n)

2. ได้ตามที่อยากได้แล้วกี่ครั้ง (S)

พอเราบันทึกค่าทั้ง 2 อย่างนี้ได้ ก็เอามาคำนวณด้วยสูตร $p=\frac{S}{n}$ เราก็จะได้ความน่าจะเป็นออกมา

เอาเป็นว่าเราไปลองดูตัวอย่างง่ายๆ กันดีกว่า

ปัญหา 1: เด็กชายคนหนึ่งอยากรู้ว่าตนเองนั้นเล่นเกมเกมหนึ่งเก่งแค่ไหน จึงทำการทดลองเล่นเกมติดต่อกัน 20 ตา ผลปรากฏว่าเล่นชนะไปทั้งหมด 12 ตา แพ้ 8 ตา เด็กชายคนนี้มีความน่าจะเป็นที่จะเล่นเกมนี้ชนะเป็นเท่าไร?

อ่านโจทย์กันเสร็จแล้วก็น่าจะตอบกันในใจได้เลยใช่มะ? เพราะถ้าเล่น 20 ตา ชนะ 12 ก็แสดงว่ามีความน่าจะเป็นในการชนะ $\frac{12}{20}$ สิ?

ถูกต้องแล้วจ้า และนั่นก็คือคอนเซปต์ของวิธีการนี้เลย เป็นเพราะเนื่องจากเราไม่รู้ว่า เราจะแพ้ชนะในรูปแบบไหน เราก็เลยทดลองเล่นมันซะเลย

ดังนั้น: เด็กชายคนนี้มีความน่าจะเป็นที่จะเล่นเกมนี้ชนะเป็น $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

เราน่าจะพอเห็นข้อเสียของวิธีนี้กันเนอะ นั่นก็คือ ค่าที่ได้อาจจะไม่ตรงกับความจริงก็ได้ (เช่น เล่นเกมชนะ 12 ตาเพราะอาจจะเจอทีมฝั่งตรงข้ามเล่นไม่ดีก็ได้) ดังนั้นวิธีนี้ต้องทำการทดลองมากพอที่จะสามารถสรุปได้

ทั้งสองวิธีที่เราได้พูดถึงไปล้วนแล้วเป็นวิธีหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ที่จะเกิดขึ้น เดี๋ยวจะขอตัดเนื้อหาไว้แต่เพียงตรงนี้ก่อน แล้วเดี๋ยว EP หน้าเรามาดูเนื้อหาในเรื่องของสมบัติความน่าจะเป็นกัน เอาเป็นว่า เราไปดูสรุปสำหรับ EP นี้กันเลย

สรุปเนื้อหา

• ความน่าจะเป็น

  • คือเลขในช่วง [0,1] ที่บอกว่ามีโอกาสการเกิดเหตุการณ์ได้เท่าไร

  • $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ "ความน่าจะเป็นของ A = A เกิดได้กี่แบบ / ทั้งหมดเกิดได้กี่แบบ"

  • ตัวอย่าง: โยนลูกเต๋า 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะออก 5 หรือ 6 เป็นเท่าไร?

    • วิธีที่ 1: คำนวณจาก Sample Space

      • จะได้ว่า: $P(โยนลูกเต๋าออก\ 5, 6)=\frac{n(\{5,6\})}{n(\{1,2,3,4,5,6\})}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

      • เรียกวิธีนี้ว่า "อาศัยตัวแบบของการทดลอง"

      • ข้อเสีย:

        • S ต้องนับได้ (เพราะเราต้องใช้ S คำนวณ)

        • ผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ (ของเหตุการณ์) ต้องมีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ถ้ามีบางผลลัพธ์เกิดได้มาก/น้อยกว่าตัวอื่น จะต้องปรับการคำนวณหรือใช้วิธีอื่น)

    • วิธีที่ 2: โยนลูกเต๋าไปเรื่อยๆ สัก 1,000 ครั้ง แล้วจดไว้ว่าออกเลข 5 กับ 6 กี่ครั้ง (สมมติว่าโยน 1000 ครั้ง ออกเลข 5 กับ 6 ทั้งหมด 333 ครั้ง)

      • จะได้ว่า: $P=\frac{S}{n}=\frac{333}{1000}\approx\frac{1}{3}$

      • เรียกวิธีนี้ว่า "อาศัยผลจากการทดลอง"

      • ข้อเสีย: ต้องทดลองไปเรื่อยๆ จนจำนวนครั้งมากพอ จึงจะสามารถสรุปได้