[STA2] Fundamental Counting Principle

กฎการนับเบื้องต้น: กฎการคูณ กฎการบวก

โจทย์ความน่าจะเป็นหลายๆ ข้อที่เราเจอกันมาตั้งแต่มัธยมฯ จะชอบถามเราว่า "สรุปแล้วสิ่งที่เกิดขึ้น (จากเหตุการณ์ที่กำหนด) มีทั้งหมดเท่าไร?" แน่นอนว่า ถ้าเราอยากจะรู้ว่าโจทย์ที่กำหนดมาจะก่อให้เกิดผลลัพธ์กี่แบบ เราก็ต้องเรียนรู้สิ่งที่เรียกว่า "กฎการนับเบื้องต้น (Fundamental Counting Principle)" กันก่อน

ซึ่งจริงๆ เจ้ากฎตัวนี้เราก็เรียนกันมาหมดแล้วแหละ คือประกอบไปด้วยกฎพื้นฐาน 2 ตัวคือ:

1. กฎการคูณ (Rule of Product)

2. กฎการบวก (Rule of Sum)

เดี๋ยวเราไปเริ่มกันที่กฎแรกกันก่อนเลยดีกว่า นั่นก็คือ…

กฎการคูณ (Rule of Product)

ทฤษฎี: ถ้าการดำเนินการมี $k$ ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่งทำได้ $n_1$ วิธี ในแต่ละวิธี ทำขั้นตอนที่สองได้ $n_2$ วิธี … ดังนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงขั้นตอนที่ $k$ ซึ่งทำได้ $n_k$ วิธี เพราะฉะนั้น การดำเนินการ $k$ อย่างนี้ต่อเนื่องกัน จะมีวิธีทำได้ถึง $n_1\times n_2\times n_3\times\dots\times n_k$ วิธี

กฎการคูณจะพูดถึงการกระทำบางอย่างเป็นขั้นตอนแล้วยังทำขั้นตอนไม่เสร็จ ซึ่งโจทย์ส่วนใหญ่ที่จะใช้จะถามอยู่ในลักษณะ:

• ทำ X, Y ครั้ง (ทำซ้ำ)

• มี X มี Y จะทำ X แล้ว Y ได้กี่วิธี (ลำดับ)

• เอาของ X อย่าง, มาประกอบเป็น Y (ประกอบ)

เดี๋ยวเรามาลองดูตัวอย่างโจทย์กันดีกว่า

ปัญหา 1: ในการโยนเหรียญบาท 3 ครั้ง จะเกิดผลลัพธ์ต่างๆ กันกี่อย่าง?

โจทย์ข้อนี้จะเห็นว่าเป็นโจทย์ลักษณะแบบการทำซ้ำ คือโยนเหรียญไปเรื่อยจนกว่าจะครบ 3 ครั้ง

พอเราโยนเหรียญไป 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นคือ "หัว" กับ "ก้อย" แต่สิ่งที่โจทย์อยากได้คือ_โยน 3 ครั้ง_ แสดงว่าเรายังทำไม่เสร็จ ต้องโยนเพิ่มอีก 2 ครั้ง

ทีนี้ ถ้าเราทดลองไล่ Sample Space ดู เราจะพบว่าการโยนเหรียญบาท 3 ครั้งจะทำให้เกิดผลลัพธ์ดังนี้

$$S=\{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT\}$$

เมื่อกำหนดให้ H คือหัว T คือก้อย

เราจะเห็นว่า จำนวนสมาชิกใน Sample Space จะเกิดจากจำนวนผลลัพธ์จากการโยนในแต่ละครั้ง_คูณ_กัน นั้นคือ

$$\begin{aligned} |S_1|\times|S_2|\times|S_3|=&\,|S|\\ |\{H,T\}|\times|\{H,T\}|\times|\{H,T\}|=&\,|\{HHH,HHT,\dots,TTT\}|\\ 2\times2\times2=&\,8 \end{aligned}$$

ดังนั้น: ในการโยนเหรียญบาท 3 ครั้ง จะเกิดผลลัพธ์ต่างๆ กัน 8 อย่าง

หมายเหตุ:

• สัญลักษณ์ $|X|$ (เมื่อ $X$ เป็นเซต) คือจำนวนสมาชิกของเซต $X$

• $S_1,S_2,S_3$ คือเซตของผลลัพธ์จากการกระทำในแต่ละครั้ง ("การกระทำ" ในที่นี้คือการโยนเหรียญนั่นเอง)

น่าจะพอเริ่มเห็นภาพลางๆ ละ เดี๋ยวไปดูโจทย์เพิ่มเติมในลักษณะอื่นๆ กันดีกว่า

ปัญหา 2: ห้องหนึ่งมีทางเข้า 2 ทาง และทางออก 3 ทาง (ทางเข้าห้ามออกและทางออกห้ามเข้า) จะมีวิธีที่จะผ่านเข้าและออกจากห้องนี้ได้กี่วิธี?

คราวนี้ จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้มีลักษณะเป็นแบบลำดับ มีเข้าแล้วก็ต้องออก และห้ามออกทางเข้าด้วย 😂

ถ้าเราลองจินตนาการดูตอนเราเข้า เราก็จะเลือกทางเข้าได้ 2 ประตู พอเราเข้าไปแล้ว เราก็จะโดนบังคับออก (เพราะยังไม่เสร็จ) แต่ไม่ว่าจะเข้าประตูไหน ก็ออกได้ 3 ประตูอยู่ดี ทำให้จำนวนวิธีที่เราจะเข้าออกห้องนี้เป็น $|\{เข้า\ 1,เข้า\ 2\}|\times|\{ออก\ 1,ออก\ 2,ออก\ 3\}|=2\times3=6$ วิธี

ดังนั้น: เราจะผ่านเข้าและออกจากห้องนี้ได้ 6 วิธีนั่นเอง

เราไปดูโจทย์ในลักษณะสุดท้ายกันเลยดีกว่า

ปัญหา 3: จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะนำมาสร้างจำนวนเลขสองหลักได้กี่จำนวน เมื่อ:

1. เลขทั้งสองหลักซ้ำกันได้

2. เลขทั้งสองหลักห้ามซ้ำกัน

จากโจทย์ข้อนี้มันจะเป็นลักษณะของการประกอบ คือเอาเลข 1 - 9 มาประกอบกันเป็นเลข 2 หลัก ทั้งแบบหลักซ้ำและไม่ซ้ำ เรามาพิจารณากันทีละข้อย่อยเลยดีกว่า 😄

ข้อย่อย 1. เลขทั้งสองหลักซ้ำกันได้

ถ้าสมมติว่าโจทย์มีแค่เลข 1 กับ 2 คำตอบที่จะได้คือ $|\{1,2\}|\times|\{1,2\}|=2\times2=4$ จำนวน

แล้วถ้ามีเลข 1, 2, 3 ล่ะ? ก็จะได้ $|\{1,2,3\}|\times|\{1,2,3\}|=3\times3=9$ จำนวนนั่นเอง

คราวนี้เราก็น่าจะเดากันออกและเนอะว่าถ้ามีเลข 1 - 9 มันจะได้กี่จำนวน ($9\times9=81$ จำนวน)

ดังนั้น: จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะนำมาสร้างจำนวนเลขสองหลักได้ 81 จำนวนเมื่อเลขทั้งสองหลักซ้ำกันได้

ข้อย่อย 2. เลขทั้งสองหลักห้ามซ้ำกัน — ข้อย่อยนี้อาจจะต้องคิดกันเพิ่มสักหน่อย…

ในตอนเริ่มต้น เซตของตัวเลขเราจะเป็น $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ใช่มะ แล้วสมมติว่าเราหลับตาสุ่มหยิบมันออกไปใช้ทำหลักแรก 1 ตัว อ่ะสมมติหยิบได้ 7 — เซตตัวเลขของเราก็จะเหลือแค่ $\{1,2,3,4,5,6,8,9\}$

จากข้อความข้างต้น เราก็จะสามารถสรุปได้ว่า:

• ทำหลักแรก มีตัวเลขให้หยิบได้ 9 ตัว

• ทำหลักที่ 2 มีตัวเลขให้หยิบได้ 8 ตัว

ซึ่งตรงนี้เราสามารถใช้กฎการคูณเข้ามาได้เพราะการทำหลักแรกจะยังไม่เสร็จ แต่จะเสร็จในหลักที่ 2 ก็คือครบตามโจทย์สั่ง

ดังนั้น: จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะนำมาสร้างจำนวนเลขสองหลักเมื่อเลขทั้งสองหลักห้ามซ้ำกันได้ $9\times8=72$ จำนวน

หมายเหตุ: อาจจะมองว่าเลขหลักแรกเป็นได้ 9 ตัว หลักสองเป็นได้ 8 ตัวเช่นกัน ลองหาวิธีที่ทำให้ตัวเองเห็นภาพแล้วเข้าใจง่ายๆ ดูนะ 👍

จะเห็นว่าทั้งสามตัวอย่างจะเกี่ยวข้องกับกฎการคูณทั้งหมดเลย ซึ่งก็จะสังเกตว่าในแต่ละข้อมันจะมีสิ่งที่คล้ายคลึงกันหลายอย่าง:

• การโยนเหรียญ 3 ครั้ง: โยนครั้งแรกแล้วก็จะยังไม่เสร็จ (เพราะยังไม่ครบ 3 ครั้ง) ก็ต้องนำจำนวนวิธีที่ได้จากครั้งแรกไปคูณกับจำนวนวิธีที่ได้ในการโยนครั้งที่ 2 และ 3 พอครบทั้ง 3 ครั้งแล้ว (ก็คือเสร็จงาน) ก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด

• การเข้าออกประตู: เมื่อเราเข้าแล้วก็จะยังไม่เสร็จ (เพราะยังไม่ได้ออก) ก็ต้องเอาจำนวนวิธีในการเข้าไปคูณกับจำนวนวิธีในการออก พอออกแล้ว (ก็คือเสร็จงาน) ก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด

• การสร้างตัวเลขสองหลัก: เมื่อเราสร้างหลักแรกแล้วก็จะยังไม่เสร็จ (เพราะยังไม่ครบสองหลัก) ก็ต้องเอาจำนวนวิธีการสร้างหลักแรกไปคูณกับจำนวนวิธีในการสร้างหลักที่ 2 พอสร้างครบแล้ว (ก็คือเสร็จงาน) ก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด

ยังไงอย่าลืมฝึกทำโจทย์กันเยอะๆ เพื่อเพิ่มความเข้าใจกันด้วยน้า 😘 เดี๋ยวเราไปดูในเรื่องของกฎต่อไปเลยดีกว่านั่นก็คือ…

กฎการบวก (Rule of Sum)

ทฤษฎี: ถ้ามีการกระทำ $k$ อย่าง แต่ละอย่างเราเลือกกระทำได้ $n_1,n_2,n_3,\dots,n_k$ วิธีตามลำดับ ดังนั้นเรามีวิธีเลือกกระทำเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งได้ $n_1+n_2+n_3+\dots+n_k$ วิธี

ถ้าเราสังเกตทฤษฎีของกฎการบวกดีๆ เราจะพบว่าเขาจะใช้คำว่า "เลือกกระทำ" นั่นแปลว่า โจทย์เกี่ยวกับกฎการบวกมักจะทำได้หลายวิธีหรือแบ่งงานย่อยๆ ออกมาเพื่อให้งานเสร็จได้

ตรงนี้ห้ามงง! หลายวิธี ≠ หลายขั้นตอนนะ

• หลายวิธี คือ แต่ละวิธีทำแล้วงานเสร็จ

• หลายขั้นตอน คือ งานจะยังไม่เสร็จจนกว่าจะครบทุกขั้นตอน

เอาเป็นว่า เดี๋ยวเราลองไปดูตัวอย่างกันดีกว่า

ปัญหา 1: จากกราฟที่กำหนด

จะมีเส้นทางจากกรุงเทพฯ ไปหนองคายทั้งหมดกี่เส้นทาง?

จะเห็นว่าข้อนี้เราสามารถแบ่งออกเป็น 2 ส่วนได้ก็คือ:

1. กรุงเทพฯ → นครราชสีมา → หนองคาย: ตรงส่วนนี้ต้องใช้กฎการคูณ จะได้ทั้งหมด $2\times4=8$ เส้นทาง

2. กรุงเทพฯ → หนองคาย: ตรงนี้นับเส้นก็รู้ว่ามี 3 เส้นทาง

เราก็แค่นำผลลัพธ์ที่ได้ของแต่ละส่วนมารวมกัน ก็คือก็จะได้ทั้งหมด $3+8=11$ เส้นทาง

ดังนั้น: จะมีเส้นทางจากกรุงเทพฯ ไปหนองคายทั้งหมด 11 เส้นทาง

โจทย์ประเภทกฎการบวกมันจะไม่ค่อยโผล่ออกมามากเท่าไร ส่วนใหญ่ที่จะเจอมักจะเป็นโจทย์ที่แบ่งกรณีการทำได้เป็นส่วนใหญ่ (เหมือนกับข้อที่ผ่านมา)

วันนี้ก็ดูเนื้อหากันมาเยอะละ เรามาพักแล้วสรุปกันก่อนดีกว่า

สรุปเนื้อหา

• กฎการคูณ (Rule of Product):

  • ยังทำไม่จบ

  • ถ้าการดำเนินการมี $k$ ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่งทำได้ $n_1$ วิธี ในแต่ละวิธี ทำขั้นตอนที่สองได้ $n_2$ วิธี… ดังนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงขั้นตอนที่ $k$ ซึ่งทำได้ $n_k$ วิธี เพราะฉะนั้น การดำเนินการ $k$ อย่างนี้ต่อเนื่องกัน จะมีวิธีทำได้ถึง $n_1\times n_2\times n_3\times\dots\times n_k$ วิธี

• กฎการบวก (Rule of Sum):

  • ทำจบในแต่ละเคสแล้วเอามาบวกกัน

  • ถ้ามีการกระทำ $k$ อย่าง แต่ละอย่างเราเลือกกระทำได้ $n_1,n_2,n_3,\dots,n_k$ วิธีตามลำดับ ดังนั้นเรามีวิธีเลือกกระทำเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งได้ $n_1+n_2+n_3+\dots+n_k$ วิธี

จริงๆ แล้วในส่วนนี้จะมีเรื่อง การจัดลำดับ (Permutation) และการจัดหมู่ (Combination) เพิ่มเติมด้วย แต่เนื่องจากต้นฉบับของเดิมนั้นยาวมาก เอาเป็นว่า เดี๋ยวตัดไปไว้ตอนใหม่แยกกันไปเลยดีกว่า แล้วเจอกันใน EP3 ครับ 👋