[STA5] Properties of Probability

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น (Properties of Probability)

ความน่าจะเป็นนั้นมีคุณสมบัติคร่าวๆ อยู่ 5 ข้อ นั่นก็คือ:

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะมีค่าเป็น 0 - 1 ($0\leq P(A)\leq1$)

2. ถ้าการทดลองสุ่มมี Sample Space $S=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ จะได้

   $$\begin{aligned} P(a_1)+P(a_2)+\dots+P(a_n)=&1\\ P(S)=&1 \end{aligned}$$
3. ความน่าจะเป็นของ $\varnothing$ คือ 0

4. ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันไม่ได้ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A หรือ B จะเกิด คือ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

5. ถ้า $A_1, A_2, \dots$ เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีคู่ใดมีผลลัพธ์ร่วมกัน (Mutually Exclusive เป็นคู่ๆ) จะได้ว่า $P(A_1\cup A_2\cup\dots)=P(A_1)+P(A_2)+\dots$

เดี๋ยวจะอธิบายให้ฟังทีละข้อ

ข้อที่ 1: ถ้าเราจำได้จากเรื่องของเหตุการณ์ เราบอกว่า $A\subset S$ (เซตของเหตุการณ์ A จะเป็นซับเซตของ Sample Space) ใช่มะ?

นั่นแปลว่า $n(A)\leq n(S)$ เสมอ

แล้วเมื่อเราเอา $\frac{n(A)}{n(S)}$ ก็จะเป็นการเอา "เลขน้อย" หารด้วย "เลขมาก" ทำให้ $0\leq P(A)\leq1$ เสมอ

อธิบายเพิ่มเติม: เนื่องจากจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์จะมีช่วงอยู่บน $[0,n(S)]$ และจำนวนสมาชิกของ Sample Space มีค่าเป็น $n(S)$ จึงสามารถกล่าวได้ว่า $\frac{0}{n(S)}\leq\frac{n(A)}{n(S)}\leq\frac{n(S)}{n(S)}$ นั่นก็คือ $0\leq P(A)\leq1$

ข้อที่ 2: ข้อนี้จะแสดงให้เราเห็นสองเรื่อง

1. เรื่องแรกคือ ถ้าเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์ทั้งหมดเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นที่ได้จะเป็น 1 (ก็คือ $P(S)=1$) เช่น โยนลูกเต๋าแล้วจะออกหน้าที่มีตัวเลขระหว่าง 1 - 6 ก็ต้องตอบว่าเกิดขึ้นแน่นอน เพราะเลขบนหน้าลูกเต๋ามันคือ 1 - 6 ถูกมะ?

2. เรื่องที่สองคือ ถ้าเอาเหตุการณ์ที่แบ่งไปจาก Sample Space มารวมกัน จะต้องได้ 1 ($P(a_1)+P(a_2)+\dots+P(a_n)=1$) เช่น โยนลูกเต๋า 1 ลูก โอกาสออกแต่ละหน้าก็จะมีโอกาสเป็น $\frac{1}{6}$ เท่ากัน พอเราเอาความน่าจะเป็นของแต่ละหน้าตั้งแต่ 1 - 6 มารวมกันก็จะได้ 1 (ก็คือ $6\times\frac{1}{6}=1$)

ข้อที่ 3: อ่ะแน่นอน ความน่าจะเป็นของสิ่งที่จะเกิดขึ้นไม่ได้ก็ต้องเป็น 0

ข้อที่ 4 และ 5: สองข้อนี้เหมือนกันเลย แค่เป็นสองตัวกับหลายตัว

แต่ก่อนที่เราจะไปทำความเข้าใจคุณสมบัติสองข้อนี้ เราจะต้องทำความเข้าใจเรื่องหนึ่งก่อน — สมมติว่าเรามี 3 เหตุการณ์ดังนี้:

1. กำหนดเหตุการณ์ A เป็นเหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋าได้หน้า 1, 2, 3

2. กำหนดเหตุการณ์ B เป็นเหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋าได้หน้า 4, 5, 6

3. กำหนดเหตุการณ์ C เป็นเหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋าได้หน้า 1, 3, 5

เราจะเห็นว่า เหตุการณ์ A กับ C เนี่ย สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ แต่เหตุการณ์ A กับ B เนี่ย ยังไงก็ไม่มีทางที่จะเกิดขึ้นพร้อมๆ กันได้ (เพราะแต้มจะเป็นต่ำและสูงพร้อมกันไม่ได้ ถูกมะ?)

ดังนั้น: เราจึงบอกว่า เหตุการณ์ A และ B เป็น "เหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันไม่ได้ (Mutually Exclusive)" ตามชื่อ ตรงตัวเลย

อ่ะกลับมาที่คุณสมบัติ

สมมติเราบอกว่า เราอยากรู้ว่าเหตุการณ์ A กับ B (ที่ยกตัวอย่างไปตะกี๊) รวมกันแล้ว จะมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าไร

ปกติแล้ว เราต้องพิจารณาว่า A กับ B ว่ามีผลลัพธ์อะไรร่วมกันหรือไม่ แล้วเอาความน่าจะเป็นในส่วนที่ทับซ้อนกันมาลบออกจากการบวก (ซึ่งตรงนี้จะเป็นเรื่องของกฎความน่าจะเป็น เดี๋ยวเราค่อยไปดูกันหลังจากอันนี้) ซึ่งถ้าหากว่าเหตุการณ์ทั้งสองอย่าง Mutually Exclusive แล้ว นั่นก็แสดงว่าไม่มีผลลัพธ์ของเหตุการณ์ทับซ้อนกัน ก็เลยสามารถเอามาบวกกันได้ตรงๆ เลย (และสำหรับกรณีที่มีหลายตัวก็จะเป็นเหมือนกัน) ก็เลยเป็นที่มาของคุณสมบัติข้อนี้นี่เอง

นี่ก็คือคุณสมบัติของความน่าจะเป็นคร่าวๆ 5 ข้อที่ต้องรู้ไว้ เราไปดูเรื่องสุดท้ายของหัวข้อนี้เลยดีกว่านั่นก็คือ…

กฎความน่าจะเป็น (Probability Rules)

กฎที่ 1: ถ้า $A$ กับ $B$ เป็นเหตุการณ์ใดๆ ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อย 1 เหตุการณ์ใน 2 เหตุการณ์จะเกิดขึ้น คือ

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

ในกรณีที่มี 3 เหตุการณ์ เราขยายสูตรได้เป็น

$$\begin{aligned} P(A\cup B\cup C)=&\,P(A)+P(B)+P(C)\\ &-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)\\ &+P(A\cap B\cap C) \end{aligned}$$

เราอาจจะเอ๊? ทำไมสูตรของเรื่องเซตถึงมาอยู่ที่นี่ได้?

ตามที่เราเคยบอกไปว่า "เหตุการณ์" มันก็เป็นเซตๆ หนึ่งเหมือนกัน ดังนั้น เราเลยสามารถเอาการดำเนินการของเซตมาใช้กับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้

ทีนี้ สิ่งที่กฎข้อแรกบอกก็คือ เราจะเอาความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์มาบวกกันง่ายๆ ไม่ได้ เพราะถ้าสมมติว่าเหตุการณ์อันหนึ่งนั้นให้ผลลัพธ์บางตัวทับซ้อนกับเหตุการณ์อีกอันหนึ่ง คำตอบที่ได้จะมากเกินความเป็นจริง (ก็คือมันจะผิดนั่นแหละ) ดังนั้นเราต้องเอาส่วนที่ทับซ้อนกันออก (ก็คือตัว $P(A\cap B)$ นั่นแหละ) คำตอบถึงจะถูกต้อง

เดี๋ยวเราลองไปดูโจทย์ที่ใช้สมบัตินี้ดีกว่า…

ปัญหา 1: จากการเก็บข้อมูลของร้านขายเครื่องเขียนแห่งหนึ่ง จากลูกค้าทั้งหมด 100% พบว่าลูกค้าจะซื้อดินสอ 70% ซื้อยางลบ 50% ซื้อดินสอและยางลบ 40% จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะซื้อดินสอ_หรือ_ยางลบ

จากปัญหานี้เราจะเจอคำแปลกๆ 2 คำคือคำว่า "และ" กับคำว่า "หรือ" ให้ชวนงง

• คำว่า "…และ…": จะหมายถึงต้องมีทั้ง 2 อย่าง (ซื้อทั้งดินสอและยางลบไปเป็นแพ็คคู่)

• คำว่า "…หรือ…": จะหมายถึงต้องมีอย่างใดอย่างหนึ่งและจะมีทั้งคู่ก็ได้ (ดินสออย่างเดียว ยางลบอย่างเดียว หรือทั้งคู่ก็ได้)

ข้อควรระวัง: คำว่า "…หรือ…" อาจจะหมายถึงกรณีเฉพาะของอย่างใดอย่างหนึ่ง (แบบไม่เอาคู่) ก็ได้ ในกรณีนั้นอาจจะมีการใช้คำอื่นๆ เข้ามาประกอบคำว่า "หรือ" เช่น ใช้เป็นคำว่า "…หรือ…อย่างใดอย่างหนึ่ง" — โดยทั่วไปแล้ว ถ้าไม่มีคำแปลกๆ อยู่ ก็ให้สรุปไปเลยว่าเป็นแบบ "อย่างใดอย่างหนึ่งและทั้งคู่รวมกันด้วย"

หลายๆ คนก็น่าจะแบบ

"ก็ดินสอ 70% ยางลบ 50% ไง? ก็จะต้องตอบว่า 50% + 70% = … เอ๊ะ!?"

ใช่แล้ว การที่บอกว่าซื้อดินสอ 70% ไม่ได้หมายความว่า 70% นี้จะเป็นดินสออย่างเดียว อาจจะรวมยอดที่มียางลบอยู่ด้วยก็ได้ (แต่เพราะว่ามันมีดินสอไง ก็เลยนับด้วย)

ดังนั้น ข้อนี้จึงต้องเอา "ดินสอ + ยางลบ - ดินสอและยางลบ (เอาส่วนเกินจากการบวกออก)" ก็จะได้คำตอบที่ถูกต้อง

นั่นคือ 70% + 50% - 40% = 80% หรือก็คือลูกค้าจะซื้อดินสอหรือยางลบด้วยความน่าจะเป็น 0.8

ดังนั้น: ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะซื้อดินสอหรือยางลบคือ 0.8

หมายเหตุ: ความน่าจะเป็นจะเป็นเลขจำนวนจริงระหว่าง 0 - 1 แต่เราสามารถเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ก็ได้โดยการนำ "ความน่าจะเป็น × 100"

จากโจทย์ข้างต้น ก็น่าจะช่วยให้กระจ่างเรื่องกฎแรกแล้วเนอะ ทั้งนี้ในกรณีแบบ 3 ตัว หรือหลายๆ ตัวก็จะเหมือนๆ กัน สามารถอ้างอิงจากสูตรของเรื่องการรวมเซตได้เลย 👍

เราไปดูอีกกฎที่สำคัญกันดีกว่า นั่นก็คือ…

กฎที่ 2: ถ้า $A$ เป็นเหตุการณ์ใดๆ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $A$ จะไม่เกิดขึ้น คือ

$$P(A')=1-P(A)$$

กฎข้อนี้ ไม่ต้องอธิบายมาก ง่ายๆ เลยคือ "สิ่งที่จะไม่เกิด = 1 - สิ่งที่จะเกิด" — เช่น

ปัญหา 1: เหรียญถ่วงน้ำหนัก 1 เหรียญมีโอกาสออกหัวด้วยความน่าจะเป็น 0.4 จงหาว่าเหรียญถ่วงน้ำหนักนี้จะออกก้อยด้วยความน่าจะเป็นเท่าไร**

คือเรารู้ไงว่าเหรียญมันมีแค่ 2 หน้าถูกมะ เราเลยบอกได้ว่า "เฮ้ย เมื่อโยนเหรียญถ่วงน้ำหนักนี้แล้วมันจะออกก้อยด้วยความน่าจะเป็น '1 - หัว'"

นั่นก็คือ 1 - 0.4 = 0.6 นั่นเอง

ดังนั้น: เหรียญถ่วงน้ำหนักนี้จะออกก้อยด้วยความน่าจะเป็น 0.6

ตรงไปตรงมาและเข้าใจง่ายใช่มะข้อนี้ 😄 ตอนนี้ก็จบเรื่องความน่าจะเป็น_เบื้องต้น_กันแล้ว เดี๋ยวเราไปดูสรุปกันตามเช่นเคยดีกว่า

สรุปเนื้อหา

• คุณสมบัติ

  1. ความน่าจะเป็นจะเป็นเลข 0-1 ($P\in[0,1]$)

  2. ความน่าจะเป็นในแต่ละเหตุการณ์รวมกันจะได้ 1 ($\sum_nP(a_n)=P(S)=1$)

  3. ความน่าจะเป็นของเซตว่างคือ 0 ($P(\varnothing)=0$)

  4. $A\cap B\in\varnothing\rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ($A\cap B\in\varnothing$ เรียกว่า Mutually Exclusive)

• กฎ

  1. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ท่องว่า "นอก - ใน"

  2. $P(A')=1-P(A)$

ใน EP นี้เราก็ได้เรียนรู้วิธีการหาความน่าจะเป็นแบบคร่าวๆ ง่ายๆ กันไปแล้วเนอะ ในคราวหน้าเราจะมาพูดถึง "ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข" และวิธีการคำนวณกัน อย่าลืมติดตามกันด้วยน้า สวัสดีครับ 🥰